Exploraciones recientes de mundos geométricos únicos revelan patrones desconcertantes, incluida la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea

Por: Leila Sloman

(Quanta)-Hace catorce años, los matemáticos Dusa McDuff y Felix Schlenk se toparon con un jardín geométrico oculto que recién ahora comienza a florecer. La pareja estaba interesada en cierto tipo de forma oblonga, una que pudiera apretarse, plegarse de maneras muy particulares y meterse dentro de una bola. Se preguntaron: para una determinada forma, ¿qué tamaño debe tener la pelota?

A medida que sus resultados comenzaron a cristalizarse, al principio no notaron los llamativos patrones que surgían. Pero un colega que revisó su trabajo descubrió los famosos números de Fibonacci , una lista cuyas entradas han aparecido una y otra vez en la naturaleza y a lo largo de siglos de matemáticas. Están estrechamente relacionados, por ejemplo, con la proporción áurea exaltada, que ha sido estudiada en el arte, la arquitectura y la naturaleza desde los antiguos griegos.

Los números de Fibonacci “siempre hacen felices a los matemáticos”, dijo Tara Holm , matemática de la Universidad de Cornell. Su aparición en el trabajo de McDuff y Schlenk, agregó, fue «algún indicio de que hay algo allí».

Su resultado histórico se publicó en 2012 en Annals of Mathematics , ampliamente considerada la mejor revista en el campo. Reveló la existencia de estructuras en forma de escalera con infinitos escalones. El tamaño de cada escalón en estas «escaleras infinitas» era una proporción de números de Fibonacci.

A medida que la escalera ascendía, los escalones se hacían cada vez más pequeños y la parte superior de la escalera se aplastaba contra la proporción áurea. Ni la proporción áurea ni los números de Fibonacci tienen una relación aparente con el problema de encajar una forma dentro de una bola. Fue extraño encontrar estos números al acecho dentro del trabajo de McDuff y Schlenk.

Luego, a principios de este año, McDuff descubrió otra pista de este misterio. Ella y varios otros revelaron no solo infinitas más escaleras, sino también intrincadas estructuras fractales. Sus resultados «no son algo que ni remotamente esperara ver surgir naturalmente en este tipo de problema», dijo Michael Usher , profesor de la Universidad de Georgia.

El trabajo ha revelado patrones ocultos en áreas aparentemente no relacionadas de las matemáticas, una señal confiable de que algo importante está en marcha.

La forma del movimiento

Estos problemas no tienen lugar en el mundo familiar de la geometría euclidiana, donde los objetos mantienen su forma. En cambio, operan según las extrañas reglas de la geometría simpléctica, donde las formas representan sistemas físicos. Por ejemplo, considere un péndulo simple. En cualquier momento dado, el estado físico del péndulo se define por dónde está y qué tan rápido va. Si traza todas las posibilidades para esos dos valores, la ubicación y la velocidad del péndulo, obtendrá una forma simpléctica que parece la superficie de un cilindro infinitamente largo.

Puede modificar formas simplécticas, pero solo de formas muy particulares. El resultado final debe reflejar el mismo sistema. Lo único que puede cambiar es cómo lo mides. Estas reglas aseguran que no te metas con la física subyacente.

McDuff y Schlenk habían estado tratando de descubrir cuándo podrían encajar un elipsoide simpléctico, una gota alargada, dentro de una bola. Este tipo de problema, conocido como problema de incrustación, es bastante fácil en la geometría euclidiana, donde las formas no se doblan en absoluto. También es sencillo en otros subcampos de la geometría, donde las formas se pueden doblar tanto como quieras siempre que su volumen no cambie.

La geometría simpléctica es más complicada. Aquí, la respuesta depende de la «excentricidad» del elipsoide, un número que representa cuán alargado es. Una forma larga y delgada con una gran excentricidad se puede plegar fácilmente en una forma más compacta, como una serpiente enrollada. Cuando la excentricidad es baja, las cosas son menos simples.

El artículo de McDuff y Schlenk de 2012 calculó el radio de la bola más pequeña que podría caber en varios elipsoides. Su solución se parecía a una escalera infinita basada en los números de Fibonacci, una secuencia de números donde el siguiente número es siempre la suma de los dos anteriores.

Después de que McDuff y Schlenk revelaran sus resultados, los matemáticos se preguntaron: ¿Qué pasa si intentas incrustar tu elipsoide en algo que no sea una bola, como un cubo de cuatro dimensiones? ¿Aparecerían más escaleras infinitas?

Una sorpresa fractal

Los resultados se filtraron a medida que los investigadores descubrieron algunas escaleras infinitas aquí, algunas más allá. Luego, en 2019, la Asociación de Mujeres en Matemáticas organizó un taller de geometría simpléctica de una semana de duración. En el evento, Holm y su colaboradora Ana Rita Pires formaron un grupo de trabajo que incluía a McDuff y Morgan Weiler , un Ph.D. recién graduado. de la Universidad de California, Berkeley. Se propusieron incrustar elipsoides en un tipo de forma que tiene infinitas encarnaciones, lo que finalmente les permitió producir infinitas escaleras.

Para visualizar las formas que estudió el grupo, recuerda que las formas simplécticas representan un sistema de objetos en movimiento. Debido a que el estado físico de un objeto utiliza dos cantidades, posición y velocidad, las formas simplécticas siempre se describen mediante un número par de variables. En otras palabras, son de dimensión uniforme. Dado que una forma bidimensional representa solo un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria fija, las formas de cuatro dimensiones o más son las más intrigantes para los matemáticos.

Pero las formas de cuatro dimensiones son imposibles de visualizar, lo que limita severamente el conjunto de herramientas de los matemáticos. Como remedio parcial, los investigadores a veces pueden dibujar imágenes bidimensionales que capturen al menos alguna información sobre la forma. Según las reglas para crear estas imágenes en 2D, una bola de cuatro dimensiones se convierte en un triángulo rectángulo.

Las formas que analizó el grupo de Holm y Pires se denominan superficies de Hirzebruch. Cada superficie de Hirzebruch se obtiene cortando la esquina superior de este triángulo rectángulo. Un número, b , mide cuánto has cortado. Cuando b es 0, no has cortado nada; cuando es 1, has borrado casi todo el triángulo.

Inicialmente, parecía poco probable que los esfuerzos del grupo dieran frutos. “Pasamos una semana trabajando en ello y no encontramos nada”, dijo Weiler, quien ahora es un posdoctorado en Cornell. A principios de 2020, todavía no habían avanzado mucho. McDuff recordó una de las sugerencias de Holm para el título del artículo que escribirían: «No hay suerte para encontrar escaleras».

Pero el grupo finalmente encontró su equilibrio y en octubre de 2020 publicaron un artículo que excavó infinitas escaleras para ciertos valores de b.

En marzo pasado, McDuff, Weiler y Nicki Magill, un estudiante de Holm que comenzó a trabajar con McDuff durante la pandemia de coronavirus, publicaron una preimpresión en la que casi completaron el proyecto de análisis de incrustaciones de elipsoides en superficies de Hirzebruch. “Es increíble”, dijo Holm. «Es tan hermoso.»

Cuando lo hicieron, surgió otra sorpresa. Si observa todos los valores de b para los que aparece una escalera infinita, obtiene otra estructura fractal: una disposición de puntos con características que desafían el sentido común. Llamado conjunto de Cantor, tiene más puntos que los números racionales, pero de alguna manera los puntos del conjunto de Cantor están más dispersos.

“Realmente desarrollaron esta hermosa imagen con las simetrías de la escalera que todavía estoy tratando de absorber por completo”, dijo Daniel Cristofaro-Gardiner , matemático de la Universidad de Maryland.

Aunque el nuevo trabajo ha producido más escaleras infinitas que cualquier resultado anterior, las incrustaciones simplécticas y las escaleras que las acompañan siguen siendo en su mayoría un misterio, ya que las superficies de Hirzebruch comprenden solo una pequeña fracción de las posibles formas simplécticas. “Todavía siento que estamos un poco en el bosque y no hemos llegado al nivel de las nubes donde podemos ver el panorama completo”, dijo Holm. “Es un momento emocionante, porque creo que llegaremos allí”.